Asal Mula Rumus Luas Trapesium

Trapesium adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang dua di antaranya saling sejajar namun tidak sama panjang. Trapesium termasuk jenis bangun datar segi empat.
Trapesium terdiri dari 3 jenis, yaitu:

1. Trapesium sembarang, yaitu trapesium yang keempat rusuknya tidak sama panjang. Trapesium ini tidak memiliki simetri lipat dan hanya memiliki 1 simetri putar.

 

2. Trapesium sama kaki, yaitu trapesium yang mempunyai sepasang rusuk yang sama panjang, di samping mempunyai sepasang rusuk yang sejajar. Trapesium ini memiliki 1 simetri lipat dan 1 simetri putar.

3. Trapesium siku-siku, yaitu trapesium yang mana dua di antara keempat sudutnya merupakan sudut siku-siku. Rusuk-rusuk yang sejajar tegak lurus dengan tinggi trapesium ini. Trapesium ini tidak memiliki simetri lipat dan hanya memiliki satu simetri putar.

 

Sifat – sifat Trapesium :
    Trapesium mempunyai 4 sisi dan 4 titik sudut.
    Sudut – Sudut Trapesium diantara sisi sejajar besarnya sebesar 180º.
    Trapesium mempunyai sepasang sisi yg sejajar, namun tidak sama panjangnya.

      Pada kesempatan kali ini, kita akan belajar tentang asal mula luas trapesium (pembuktian luas trapesium). Sejak di bangku sekolah dasar kita telah mengenal rumus trapesium sebagai berikut :

dengan a dan b merupakan sisi sejajar pada bangun trapesium.
     Kita akan membuktikan rumus luas dari ketiga jenis trapesium, yaitu trapesium sama kaki, trapesium siku-siku dan trapesium sembarang.

Pembuktian Rumus Trapesium Sama Kaki.
Misalkan diketahui trapesium ABCD :







dengan AD = CB , DC sejajar dengan AB, dan DE = CF merupakan tinggi trapesium. Dari bangun trapesium tersebut dapat kita pecah menjadi tiga bangun, yaitu segitiga siku – siku ADE dan BCF kemudian persegi panjang EFDC. Sehingga luas trapesium tersebut sama dengan L. Segitiga ADE + L. Segitiga BCF + L. Persegi panjang EFDC.

Segitiga ADE dan segitiga BCF memiliki panjang hipotenusa yang sama (AD = BC, karena diketahui trapesium sama kaki), dan memiliki satu sisi sama panjang yaitu DE = CF (karena sama-sama tinggi trapsesium). Berdasarkan Teorema Hiptenusa kaki : diketahui kesesuaian antara segitiga siku-siku, jika hipotenusa dan satu kaki dari segitiga kongruen pada bagian-bagian yang bersesuaian pada segitiga kedua, maka kesesuaian adalah kongruen, maka segitiga ADE sama dengan segitiga BCF (kongruen).


Misalkan :
DC = EF = a
AE = FB = c
DE = FC = t (tinggi trapesium)
Maka luas trapesium :
= ( ½ . t . c ) + ( a . t ) + ( ½ . t . c )
= ½ . t ( c + 2a + c)
= ½ . t ( a + a + c +c )
Karena a + c + c merupakan salah satu panjang sisi sejajar trapesium bagian bawah atau biasa di simbolkan dengan b, dan a merupakan salah satu panjang sisi sejajar trapesium bagian atas, maka luas trapseium :
= ½ . t ( a + a + c +c )
= ½ . t ( a + b )
= ½ . ( a + b ) . t
Berdasarkan proses diatas, terbukti bahwa :

Pembuktian Rumus Trapesium siku-siku.
Misalkan diketahui trapesium ABCD, siku-siku di B dan C :


DC sejajar dengan AB, t merupakan tinggi trapesium tersebut. Dari bangun trapesium tersebut dapat kita pecah menjadi dua bangun, yaitu segitiga siku – siku ADT dan persegi panjang TBCD. Sehingga luas trapesium tersebut sama dengan L. Segitiga ADT + L. Persegi panjang TBCD.

Misalkan :
AT = a
TB = DC = b
DT = BC = tinggi trapesium = t
Maka luas trapesium :
= ( ½ . a . t ) + ( b . t )
= ½ . t ( a + 2b )
= ½ . t ( a + b + b )
Karena a + b merupakan salah satu panjang sisi sejajar trapesium bagian bawah atau biasa di simbolkan dengan b, dan a merupakan salah satu panjang sisi sejajar trapesium bagian atas, maka luas trapseium :
= ½ . t ( a + b )
= ½ . ( a + b ) . t
Berdasarkan proses diatas, terbukti bahwa :
Luas trapesium=  1/2×(a+b)×tinggi trapesium




Pembuktian Rumus Trapesium Sembarang.
Misalkan diketahui trapesium ABCD :

      

DC sejajar dengan AB, DT = SC merupakan tinggi trapesium tersebut. Dari bangun trapesium tersebut dapat kita pecah menjadi tiga bangun, yaitu segitiga siku – siku ADT, segitiga BSC dan persegi panjang TSCD. Sehingga luas trapesium tersebut sama dengan L. Segitiga ADT + L. Persegi panjang TSDC + L. Segitiga SBC.

Misalkan :
AT = a
TS = b
SB = c
DT = SC = tinggi trapesium = t
Maka luas trapesium :
= ( ½ . a . t ) + ( b . t ) + ( ½ . c . t)
= ½ . t ( a + b + 2c )
= ½ . t ( a + b + c + c )
Karena a + b + c merupakan salah satu panjang sisi sejajar trapesium bagian bawah atau biasa di simbolkan dengan b, dan a merupakan salah satu panjang sisi sejajar trapesium bagian atas, maka luas trapseium :
= ½ . t ( a + b + c + c )
= ½ . t ( a + b )
= ½ . ( a + b ) . t
Berdasarkan proses diatas, terbukti bahwa :